2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제6회 문제집 (중상 (응용 심화))

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 $\left(\sqrt[n]{3^{12}}\right)^2$의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 개수와 그 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

부등식 $\log_2(x - 3) + \log_2(x - 6) \le 2$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le \pi\}$인 함수 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 5$이 $x = \alpha$에서 최댓값 $M$, $x = \beta$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $\alpha, \beta, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $45$일 때, $\angle C$의 크기와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 5n$일 때, 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3x^2 & (x \ge 1) \\ bx + c & (x < 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + 27x + 5$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 값의 범위와 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

$x$에 대한 삼차방정식 $x^3 - 27x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\displaystyle\int_{3}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + kx$를 만족시킬 때, 상수 $k$의 값과 $f(4)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.